РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 1967 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2022

Сложность: IV

Классификатор стереометрии: 3\.9\. Прямоугольный параллелепипед, 1\.5\. Угол между прямыми, 3\.9\. Прямоугольный параллелепипед

Разные задачи

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в котором $AD_1= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,$ $DC_1=3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ и AC  =  4. Найдите значение выражения $дробь: числитель: 42, знаменатель: косинус в квадрате \varphi конец дроби ,$ где φ — угол между прямыми AD₁ и DC₁.

Решение. Заметим, что прямые DC₁ и AB₁ параллельны, поэтому

$\angle левая круглая скобка AD_1, DC_1 правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка AD_1, AB_1 правая круглая скобка =\angle D_1AB_1.$

Кроме того $B_1D_1=BD=AC=4.$ Тогда по теореме косинусов для треугольника AB₁D₁ получаем

$4 в квадрате = корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента в квадрате плюс левая круглая скобка 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента умножить на 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус \angle D_1AB_1,$

откуда

$16=10 плюс 18 минус 6 корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента косинус \angle D_1AB_1 равносильно косинус \angle D_1AB_1= дробь: числитель: 12, знаменатель: 6 корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби .$ $16=10 плюс 18 минус 6 корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента косинус \angle D_1AB_1 равносильно$
$равносильно косинус \angle D_1AB_1= дробь: числитель: 12, знаменатель: 6 корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби .$

Поэтому

$дробь: числитель: 42, знаменатель: косинус в квадрате \varphi конец дроби =42 : дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби =42 умножить на 5=210.$

Ответ: 210.

Ответ: 210

1967

210

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2022

Сложность: IV

Методы геометрии: Теорема косинусов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1967	210